Question

12．当x=2时，抛物线y=ax²+bx+c取得最小值为-3，且抛物线与y轴交于点C（0，1）．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）若点M（m，y₁），N（m+2，y₂）都在抛物线上，试比较y₁与y₂的大小．

Answer 1

分析 （1）已知，当x=2时，抛物线的最小值为-3，因此抛物线的顶点坐标为（2，-3）；可用顶点式来设抛物线的解析式，然后将C的坐标代入即可求出抛物线的解析式．
（2）可先将M，N的坐标代入（1）的抛物线解析式中，可得出y₁、y₂的表达式．然后让y₁-y₂，然后看得出的结果中在x的不同取值范围下，y₁、y₂的大小关系．

解答 解：（1）由题意可设抛物线的关系式为：
y=a（x-2）²-3，
因为点C（0，1）在抛物线上，
所以1=a（0-2）²-3，即a=1，
所以，抛物线的关系式为y=（x-2）²-3=x²-4x+1；

（2）∵点M（m，y₁），N（m+2，y₂）都在该抛物线上，
∴y₁-y₂=（m²-4m+1）-[（m+2）²-4（m+2）+1]=4-4m，
当4-4m＞0，即m＜1时，y₁＞y₂，
当4-4m=0，即m=1时，y₁=y₂，
当4-4m＜0，即m＞1时，y₁＜y₂．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．