Question

如图，已知射线AB与x轴和y轴分别交于点A（-3，0）和点B（0，3

3

）．动点P从点A出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向右作匀速运动，过点P作PQ⊥AB于Q．设运动时间为t秒，且第一象限内有点N（n，n-2）．
（1）当n=3时，若PQ恰好经过点N，求t的值；
（2）连接BP，记△BPQ面积为S_△BPQ，△ABP面积为S_△ABP．
①当S_△BPQ≤

1

2

S_△ABP时，求t的取值范围；
②当S_△BPQ=

1

3

S_△ABP时，记Q（a，b），若（a-n）²+（b-n+2）²取得最小值时，求直线QN的解析式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）构造如下草图分析，由点A（-3，0）和点B（0，3

3

），得出，∠BAO=60°，得出在Rt△PNH中，∠NPH=30°，NH=1，PH=

3

，进一步利用OH=x_N=3，OA=3，求得答案即可；
（2）分两种情况：①当S_△BPQ=

1

2

S_△ABP，②当S_△BPQ=

1

3

S_△ABP时；在分别按点Q在点B下方时，当点Q在点B上方时，探讨得出答案即可．

解答：解：（1）如图

由点A（-3，0）和点B（0，3

3

），
在Rt△PNH中，∠BAO=60°．
当n=3时，点N（3，1）．
在Rt△PNH中，∠NPH=30°，NH=1，PH=

3

，
又OH=x_N=3，OA=3，
∴AP=6+

3

．
即t=6+

3

．

（2）①当S_△BPQ=

1

2

S_△ABP时，由于两个三角形同高，即有BQ=

1

2

AB，
需要考虑两种可能：
当点Q在点B下方时，点Q为线段AB的中点，此时容易出求AP=2AQ=6，即t=6，
当点Q在点B上方时，AQ=9，此时容易出求AP=2AQ=18，即t=18，
相应的，当S_△BPQ≤

1

2

S_△ABP时，求t的取值范围是6≤t≤18．
②当S_△BPQ=

1

3

S_△ABP时，由（2）①中的方法可求出BQ=2，相应点Q有两个可能的坐标是（-1，2

3

）、（1，4

3

）．
由代数式（a-n）²+（b-n+2）²的特点，本质上求点Q到点N的最小距离，而点N（n，n-2）在直线y=x-2，也就是点Q到直线y=x-2的距离就是QN的最小值．
（Ⅰ）当点Q（-1，2

3

）时，作QN⊥直线y=x-2于点N，此时N（

2 3 +1

2

，

2 3 -3

2

），
根据待定系数法求出直线QN的解析式为y=-x+2

3

-1．
（Ⅱ）当点Q（1，4

3

）时，作QN⊥直线y=x-2于点N，此时N（

4 3 +3

2

，

4 3 -1

2

），
根据待定系数法求出直线QN的解析式为y=-x+4

3

+1．
综上，直线QN的解析式为y=-x+2

3

-1或y=-x+4

3

+1．

点评：此题考查一次函数的综合运用，分别将两种可能的坐标代入代数式整得出关于n的二次函数，利用二次函数的最值分析求出点Q的坐标实现问题求解．