如图.四边形OABC为正方形.点A在x轴上.点C在y轴上.点B(8.8).点P在边OC上.点M在边AB上．把四边形OAMP沿PM对折.PM为折痕.使点O落在BC边上的点Q处．动点E从点O出发.沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动.运动时间为t.同时动点F从点O出发.沿OC边以相同的速度向终点C运动.当点E到达点A时.E.F同时停止运动．(1)若点Q为线段BC边中点.直接写出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．

如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8，8），点P在边OC上，点M在边AB上．把四边形OAMP沿PM对折，PM为折痕，使点O落在BC边上的点Q处．动点E从点O出发，沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t，同时动点F从点O出发，沿OC边以相同的速度向终点C运动，当点E到达点A时，E、F同时停止运动．
（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、M的坐标；
（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上是否存在点H，使△PMH为等腰三角形？若存在，求点H的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据图形，利用点Q为线段BC边中点，由点B的坐标，所以可以求出P的坐标，再利用△CPQ∽BQN，△BQN∽△DMN，得出MA的长进而得出M点坐标；
（2）根据（1）的条件，可以分两种情况进行解答，第一种情况当0≤t≤5时，可以求出S的值，第二种情况当5≤t≤8时，设EF与PM交点为R，作RI⊥y轴，MS⊥y轴，可以证出RI=FI，有根据FI=2PI可以证出FP=PI，PI=2PF，PF=t-5，RI=2（t-5），最后解出结果．
（3）根据（1）的条件，可以分三种情况进行讨论，第一种情况先作PM的中垂线交正方形的边为点H₁，H₂，则PH₁=MH₁，PH₂=MH₂，所以点H₁，H₂即为所求点，分别求出H₁、H₂的坐标；第二种情况当PM=PH₃时的情况，分别求出PM、MH₃、OH₃的值，最后求出H₃的坐标．第三种情况当PM=MH₄时，分别求出PM、MH₄ BH4的值，即可求出H₄ 的坐标．

解答解：（1）∵点Q为线段BC边中点，B（8，8），
∴设OP=x，则CP=8-x，
故（8-x）²+4²=x²，
解得：x=5，
∴P（0，5），
可得△CPQ∽BQN，
则$\frac{CP}{BQ}$=$\frac{CQ}{BN}$，
即$\frac{3}{4}$=$\frac{4}{BN}$，
解得：BN=$\frac{16}{3}$，
故AN=$\frac{8}{3}$，
再利用△BQN∽△DMN，
可得AM=1，
故M（8，1）；

（2）①当0≤t≤5时，S=$\frac{1}{2}$t²，
②当5≤t≤8时，如图1，设EF与PM交点为R，作RI⊥y轴，MS⊥y轴，

∵EO=FO，∴RI=FI，
又∵$\frac{RI}{PI}$=$\frac{SM}{PS}$=$\frac{8}{4}$=2，
∴RI=2PI，
∴FI=2PI，
∴FP=PI，RI=2PF，
∴PF=t-5，RI=2（t-5），
∴S=S_△OEF-S_△PRF，
=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$（t-5）•2（t-5），
=-$\frac{1}{2}$t²+10t-25；

（3）①如图2，作PM的中垂线交正方形的边为点H₁，H₂，

，则PH₁=MH₁，PH₂=MH₂，
∴点H₁，H₂即为所求点，
设OH₁=x，∵PH₁=MH₁，
∴x²+5²=（8-x）²+1²
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴H₁（$\frac{5}{2}$，0），
同理，设CH₂=y，∵PH₂=MH₂，
∴3²+y²=（8-y）²+7²
解得：y=$\frac{13}{2}$，
∴H₂（$\frac{13}{2}$，8），
②当PM=PH₃时，
∵PM=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴PH₃=4$\sqrt{5}$，
又∵PO=5，
∴OH₃=$\sqrt{55}$，
∴H₃（$\sqrt{55}$，0），
③当PM=MH₄时，
∵PM=4$\sqrt{5}$，
∴MH₄=4$\sqrt{5}$，又∵BM=7，
∴BH₄=$\sqrt{31}$，
∴H₄（8-$\sqrt{31}$，8），
综上，一共存在四个点，H₁（$\frac{5}{2}$，0），H₂（$\frac{13}{2}$，8），H₃（$\sqrt{55}$，0），H₄（8-$\sqrt{31}$，8）．

点评本题主要考查了相似三角形判定和的性质以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，在解题时要注意要根据点的不同位置进行分类讨论，不要漏解．

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9．

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6．

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$\frac{1}{3}，-\frac{2}{3}$

D．

$-\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$

4．

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	A．	BC的垂直平分线与AC的垂直平分线的交点
	B．	∠C的平分线与BC的垂直平分线的交点
	C．	∠C的平分线与AC的垂直平分线的交点
	D．	∠C的平分线与AB的垂直平分线的交点

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