Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B在第一象限内，OB=AB，且∠OBA=45°，点P是x轴正半轴上的一动点（点P在点A的右侧），以BP为腰作等腰△BPQ，且BP=BQ，∠PBQ=45°．已知点Q的坐标为（x，y），则y与x的函数关系式是y=x-2．

Answer 1

分析 作出辅助线证得△OBP≌△ABQ，得出∠BAQ=∠BOP=67.5°，进一步求得∠QAC=45°，得出△QAC是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出y=x-2．

解答 解：连接AQ，作QC⊥x轴于C，
∵∠OBA=∠PBQ=45°，
∴∠OAB=∠AOB=67.5°，∠OBP=∠ABQ，
在△OBP和△ABQ中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=AB}\\{∠OBP=∠ABQ}\\{PB=BQ}\end{array}\right.$
∴△OBP≌△ABQ（SAS），
∴∠BAQ=∠BOP=67.5°，
∴∠OAQ=135°，
∴∠QAC=45°，
∴△QAC是等腰直角三角形，
∴AC=QC，
∵点A的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∴y=x-2．
故答案为y=x-2．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线构建求得三角形和直角三角形是解题的关键．