Question

10．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=$\frac{k}{x}$与直线y=-x-（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x轴于B，且S_△ABO=$\frac{3}{2}$，求：
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积；
（3）当x为何值时？一次函数的值大于反比例函数的值．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数k的几何意义结合反比例函数图象在第二、四象限，可求出k值，由此即可得出两个函数的解析式；
（2）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组即可求出点A、C的坐标，设直线AC与x轴交于点D，根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△AOC的面积；
（3）根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出结论．

解答 解：（1）∵AB⊥x轴于B，且S_△ABO=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{3}{2}$，
解得：k=±3．
∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴k＜0，
∴k=-3，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{3}{x}$，一次函数的解析式为y=-x+2．
（2）联立两函数解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{x}}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
∴点A的坐标为（-1，3），点C的坐标为（3，-1）．
设直线AC与x轴交于点D，如图所示．
当y=-x+2=0时，x=2，
∴点D的坐标为（2，0），
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OD•（y_A-y_C）=$\frac{1}{2}$×2×[3-（-1）]=4．
（3）观察函数图象可知：当x＜-1或0＜x＜3时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当x＜-1或0＜x＜3时，一次函数的值大于反比例函数的值．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据反比例函数k的几何意义结合反比例函数图象所在象限，求出k值；（2）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出点A、C的坐标；（3）根据两函数图象的上下位置关系找出结论．