Question

6．如图，将矩形纸片ABCD置于直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），点D（异于点B、C）为边BC上动点，过点O、D折叠纸片，得点B′和折痕OD．过点D再次折叠纸片，使点C落在直线DB′上，得点C′和折痕DE，连接OE，设BD=t．
（1）当t=1时，求点E的坐标；
（2）设S_{四边形OECB}=s，用含t的式子表示s（要求写出t的取值范围）；
（3）当OE取最小值时，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质和全等三角形的判定定理证明△BOD≌△CDE，求出CE，计算出AE，得到点E的坐标；
（2）根据相似三角形的性质用t表示出CE，根据梯形的面积公式用t表示S；
（3）根据二次函数的性质求出AE的最小值，求出点E的坐标．

解答 解：（1）由折叠的性质可知，∠ODB=∠ODB′，∠EDC=∠EDC′，
∴∠ODE=90°，
∴∠BDO+∠CDE=90°，又∠BDO+∠BOD=90°，
∴∠BOD=∠CDE，
∵BD=t=1，BC=4，
∴CD=3，又OB=3，
∴OB=CD，
在△BOD和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{OB=CD}\\{∠BOD=∠CDE}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△CDE，
∴CE=BD=1，
∴AE=AC-CE=2，
∴点E的坐标为（4，2）；
（2）∵BD=t，
∴DC=BC-BD=4-t，
由（1）得，∠BOD=∠CDE，又∠B=∠C=90°，
∴△ODB∽△DCE，
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{OB}{DC}$，即$\frac{t}{CE}=\frac{3}{4-t}$，
解得，CE=$-\frac{1}{3}$t²+$\frac{4}{3}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$×（CE+OB）×BC=$\frac{1}{2}$×（$-\frac{1}{3}$t²+$\frac{4}{3}$t+3）×4，
∴S=$-\frac{2}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+6（0＜t＜4）；
（3）在Rt△OEA中，OE²=OA²+AE²=4²+AE²，
∴当AE最小时，OE最小，
由（2）得，CE=$-\frac{1}{3}$t²+$\frac{4}{3}$t，
∴AE=AC-CE=$\frac{1}{3}$t²-$\frac{4}{3}$t+3=$\frac{1}{3}$（x-2）²+$\frac{5}{3}$，
当t=2时，AE的最小值为$\frac{5}{3}$，
此时点E的坐标为（4，$\frac{5}{3}$）．

点评 本题考查的是矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，掌握折叠的性质、根据二次函数的性质求出最小值是解题的关键．