Question

9．观察下列等式：
第1个等式：a₁=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1；  第2个等式：a₂=$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
第3个等式：a₃=$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$=2-$\sqrt{3}$；  第4个等式：a₄=$\frac{1}{2+\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$-2；
…
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：a_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值．

Answer 1

分析 （1）原式仿照阅读材料中的方法：结果与分母只差一个符号，根据此规律求出值即可；
（2）分别将阅读材料中结果依次代入，互为相反数为0，化简即可．

解答 解：（1）a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
故答案为：$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）a₁+a₂+a₃+…+a_n，
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
=-1+$\sqrt{n+1}$．

点评 此题考查了分母有理化，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．