Question

12．如图，一次函数y=ax-2（a≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于第二象限的点，且与x轴、y轴分别交于点C、D．已知tan∠AOC=$\frac{1}{3}$，AO=$\sqrt{10}$．
（1）求这个一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点F是点D关于x轴的对称点，求△ABF的面积．

Answer 1

分析 （1）先过点A作AE⊥x轴于E，构造Rt△AOE，再根据tan∠AOC=$\frac{1}{3}$，AO=$\sqrt{10}$，求得AE=1，OE=3，即可得出A（-3，1），进而运用待定系数法，求得一次函数和反比例函数的解析式；
（2）先点F是点D关于x轴的对称点，求得F（0，2），再根据解方程组求得B（1，-3），最后根据△ABF的面积=△ADF面积+△BDF面积，进行计算即可．

解答 解：（1）过点A作AE⊥x轴于E，
∵tan∠AOC=$\frac{1}{3}$，AO=$\sqrt{10}$，
∴Rt△AOE中，AE=1，OE=3，
∵点A在第二象限，
∴A（-3，1），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象过点A，
∴k=-3×1=-3，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{3}{x}$，
∵一次函数y=ax-2（a≠0）的图象过点A，
∴1=-3a-2，
解得a=-1，
∴一次函数的解析式为y=-x-2；

（2）一次函数的解析式y=-x-2中，令x=0，则y=-2，
∴D（0，-2），
∵点F是点D关于x轴的对称点，
∴F（0，2），
∴DF=2+2=4，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-2}\\{y=-\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴B（1，-3），
∵△ADF面积=$\frac{1}{2}$×DF×CE=6，
△BDF面积=$\frac{1}{2}$×DF×|x_B|=2，
∴△ABF的面积=△ADF面积+△BDF面积=6+2=8．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是运用待定系数法求得一次函数和反比例函数的解析式．解题时注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．