Question

18．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE∥AB，如图点D在AC上（与A、C不重合），点E在BC上．
（1）当△DEC的周长与四边形DABE的周长相等时，求DC的长．
（2）当△DEC的面积与四边形DABE的面积相等时，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）由△CDE的周长与四边形DABE的周长相等，可得CD+CE=$\frac{1}{2}$×△ABC的周长，然后由相似三角形的对应边成比例，列出方程式求得答案．
（2）由DE∥AB，可得△DCE∽△ACB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案；

解答 解：（1）∵△CDE的周长与四边形DABE的周长相等，
∴CD+DE+CE=AD+AB+BE+DE，
∴CD+CE=AD+AB+BE，
∴CD+CE=$\frac{1}{2}$×△ABC的周长，
∵在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，
∴CD+CE=12，
∵DE∥AB，
∴△DCE∽△ACB，
∴$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CE}{CB}$，
即$\frac{CD}{4}$=$\frac{12-CD}{6}$，
解得：CD=4.8；

（2）∵DE∥AB，
∴△DCE∽△ACB，
∴$\frac{{S}_{△DCE}}{{S}_{△ACB}}$=$（\frac{CD}{AC}）^{2}$，
∵△CDE的面积与四边形DABE的面积相等，
∴$（\frac{CD}{AC}）^{2}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∵AC=8，
∴CD=4$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质的运用．相似三角形的面积的比等于相似比的平方，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．