Question

14．已知，在正方形ABCD中，点F是AD上一点，且AF：FD=1：2，BF与AC交于点G，则△AFG与△BCG的面积之比是1：9．△BGC与△AGB的面积之比是3：1．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得AD=BC，AD∥BC，则利用AF：FD=1：2可得AF：BC=1：3，接着利用AF∥BC可判断△AGF∽△CGB，根据相似三角形的性质得$\frac{AG}{GC}$=$\frac{AF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△BCG}}$=（$\frac{AF}{BC}$）²=$\frac{1}{9}$，然后利用三角形面积公式易得$\frac{{S}_{△BGC}}{{S}_{△AGB}}$=$\frac{CG}{AG}$=3．

解答 解：如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AF：FD=1：2，
∴AF：BC=1：3，
∵AF∥BC，
∴△AGF∽△CGB，
∴$\frac{AG}{GC}$=$\frac{AF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△BCG}}$=（$\frac{AF}{BC}$）²=（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{9}$，
∴$\frac{{S}_{△BGC}}{{S}_{△AGB}}$=$\frac{CG}{AG}$=$\frac{3}{1}$=3．
故答案为1：9；3：1．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；相似三角形面积的比等于相似比的平分．也考查了正方形的性质．