Question

16．如图，已知平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（3，0），与反比例函数在第三象限内的图象交于点B（-1，a），连接BO，若S_△AOB=3．
（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；
（2）若直线AB与y轴的交点为C点，求S_△OCB的面积．

Answer 1

分析 （1）先由A（3，0），得OA=3，点B（-1，a），S_△AOB=3，得$\frac{1}{2}$OA•a=3，a=-2，则点B的坐标是（-1，-2），把点B坐标代入反比例函数的解析式，根据待定系数法可得反比例函数的解析式；然后再把A、B坐标代入直线AB的解析式为y=kx+b根据待定系数法可得直线AB的解析式．
（2）把x=0代入直线AB的解析式求得与y轴的交点，求得OC，然后根据三角形面积公式求得即可．

解答 解：（1）由A（3，0），得OA=3；
∵点B（-1，a）在第三象限内，S_△AOB=3，
∴$\frac{1}{2}$OA•a=3；
∴a=-2；
∴点B的坐标是（-1，-2）；
设该反比例函数的解析式为y=$\frac{m}{x}$（m≠0），
将点B的坐标代入，得-2=$\frac{m}{-1}$，
∴m=2；
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{2}{x}$；
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
将点A，B的坐标分别代入，得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{-k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$；

（2）在y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$中，令x=0，得y=-$\frac{3}{2}$．
∴点C的坐标是（0，-$\frac{3}{2}$），
∴OC=$\frac{3}{2}$；
∴S_△OCB=$\frac{1}{2}$OC×1=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×1=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．此题有点难度．