Question

10．如图，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC．
（1）画出将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB．
（2）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）由于四边形ABCD为正方形，则BA=BC，∠ABC=90°，则△PAB绕点B顺时针旋转90°后BA与BC重合，然后作出P′B⊥PB，且P′B=PB即可得到△P′CB；
（2）先根据旋转的性质得BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，∠BP′C=∠APB=135°，则可判断BPP′为等腰直角三角形，所以∠BP′P=45°，PP′=$\sqrt{2}$PB=4$\sqrt{2}$，
易得∠PP′C=90°，然后在Rt△PP′C中利用勾股定理计算PC的长．

解答 解：（1）如图，△△P′CB为所作；

（2）连结PP′，如图，
∵△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，
∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，∠BP′C=∠APB=135°，
∴△BPP′为等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=$\sqrt{2}$PB=4$\sqrt{2}$，
∴∠PP′C=135°-45°=90°，
在Rt△PP′C中，PC=$\sqrt{PP{′}^{2}+P′{C}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=6．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了勾股定理和正方形的性质．