Question

2．如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30°，∠ACD=60°．
求：
（1）直径AD长为多少米．
（2）污染范围的面积是多少？
（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）
（注意：中间过程用两位小数，每问结果均保留整数）

Answer 1

分析 （1）先利用切线的性质得∠ADB=90°，再利用正切的定义得到DB=$\frac{AD}{tan30°}$=$\sqrt{3}$AD，CD=$\frac{AD}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD，则利用DB-CD=300得到AD-$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=300，于是可计算出AD的长；
（2）根据圆的面积公式计算．

解答 解：∵AD为⊙O的直径，BD为⊙O的切线，
∴AD⊥BD，∠ADB=90°，
∵BC=300米，∠ABD=30°，∠ACD=60°，
∴在Rt△ADB和Rt△ADC中，
DB=$\frac{AD}{tan30°}$=$\sqrt{3}$AD，CD=$\frac{AD}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD，
∵DB-CD=300，$\sqrt{3}$AD-$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=300，
∴AD=15$\sqrt{3}$≈150×1.73=259.5≈260（米）；
（2）污染范围是⊙O的面积=π•OA²=3.14×130²≈5306.6≈5307（米²）．
即⊙O直径为260米，被污染范围的面积为5307米²．

点评 本题考查了解直角三角形：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．也考查了切线的性质．