Question

18．如图，己知∠CAB=90°，AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，AD⊥BD，S_△ABD=$\frac{3}{40}$BC²，sin∠CDB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 作AE⊥BC于E，由题意可知△ABC是等腰直角三角形，且A，D，B，E四点共圆，从而可知sin∠CDB=sin∠BAE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：作AE⊥BC于E，
∵∠CAB=90°，AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，
∴cos∠ABC=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE=45°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴A，D，B，E四点共圆，
∴∠CDB=∠BAE=45°，
∴sin∠CDB=sin∠BAE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查解直角三角形，涉及圆周角定理，等腰直角三角形的判定，锐角三角函数，本题属于中等题型．