题目内容
13．
如图，在平面直角坐标系中的三点A（1，0），B（-1，0），P（0，-1），将线段AB沿y轴向上平移m（m＞0）个单位长度，得到线段CD，二次函数y=a（x-h）2+k的图象经过点P、C、D．（1）当m=1时，a=2；当m=2时，a=3；
（2）猜想a与m的关系，并证明你的猜想；
（3）将线段AB沿y轴向上平移n（n＞0）个单位长度，得到线段C1D1，点C1，D1分别与点A、B对应，二次函数y=2a（x-h）2+k的图象经过点P，C1，D1，
①求n与m之间的关系；
②当△COD1是直角三角形时，直接写出a的值．
分析 （1）分别把m=1和m=2代入可得C的坐标，根据抛物线顶点P（0，-1）写出解析式为：y=ax2-1，再代入C或D的坐标即可；
（2）根据线段AB沿y轴向上平移m（m＞0）个单位长度，得到线段CD，写出C和D的坐标，同理将C的坐标代入解析式中可得结论；
（3）①同理可得：a=$\frac{n+1}{2}$，由（2）中得：a=m+1，列等式可得：
②分别以三个顶点为直角顶点，由勾股定理列方程可得a的值．
解答 解：（1）当m=1时，C（1，1），D（-1，1），
∵抛物线顶点P（0，-1），
∴y=ax2-1，
把C（1，1）代入得：a=2，
当m=2时，C（1，2），D（-1，2），
∵抛物线顶点P（0，-1），
∴y=ax2-1，
把C（1，2）代入得：2=a-1，
a=3，
故答案为：2；3；
（2）a=m+1，理由是：
由题意得：C（1，m），D（-1，m）
把C（1，m）代入抛物线的解析式y=ax2-1中得：m=a-1，
∴a=m+1
（3）①由题意得：C1（1，n），D1（-1，n），
把C1（1，n）代入抛物线的解析式y=2ax2-1中得：n=2a-1，
∴a=$\frac{n+1}{2}$，
由（2）知：a=m+1，
∴m+1=$\frac{n+1}{2}$，
∴n-2m=1；
②分三种情况：
∵C（1，a-1），D1（-1，2a-1），O（0，0），
i）当∠D1CO=90°时，△COD1是直角三角形，如图1，
由勾股定理得：${D}_{1}{C}^{2}+O{C}^{2}={D}_{1}{O}^{2}$，
（-1-1）2+（2a-1-a+1）2+12+（a-1）2=（-1）2+（2a-1）2，
a2-a-2=0，
（a+1）（a-2）=0，
a1=-1（舍），a2=2；
ii）当∠D1OC=90°时，△COD1是直角三角形，如图2，
由勾股定理得：${D}_{1}{O}^{2}+O{C}^{2}={D}_{1}{C}^{2}$，
（-1）2+（2a-1）2+12+（a-1）2=（1+1）2+（a-1-2a+1）2，
2a2-3a=0，
a（2a-3）=0，
a1=0（舍），a2=$\frac{3}{2}$；
iii）当∠CD1O=90°，△COD1是直角三角形，
同理得：${D}_{1}{C}^{2}+{D}_{1}{O}^{2}=C{O}^{2}$，
（-1-1）2+（2a-1-a+1）2+（-1）2+（2a-1）2=12+（a-1）2，
2a2-a+2=0，
△=1-4×2×2＜0，
此方程无实数解，
综上所述，当△COD1是直角三角形时，a的值是$\frac{3}{2}$或2．
点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，点的平移规律、勾股定理，采用了分类讨论的原则，第三问中，当三角形为直角三角形时，可以利用勾股定理列方程解决问题．
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