Question

9．若点P（x，y）的坐标满足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=3a-2b-4}\\{2x-y=a+b-8}\end{array}\right.$．
（1）求点P的坐标（用含a，b的式子表示x，y）；
（2）若点P在第二象限，且符合要求的整数a只有三个，求b的取值范围；
（3）若点P在第四象限，且关于z的不等式yz+x+4＞0的解集为z＜$\frac{2}{3}$，求关于t的不等式at＞b的解集．

Answer 1

分析 （1）将a、b看做常数，利用加减消元法求解可得；
（2）由点P在第二象限知其横坐标小于0、纵坐标大于0得出b＜a＜4，根据符合要求的整数a只有三个可得答案；
（3）将x=a-4、y=a-b代入不等式，根据点P在第四象限知a-b＜0，结合z＜$\frac{2}{3}$得出b=$\frac{5}{2}$a，代入不等式不等式at＞b，结合a-4＞0可得答案．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=3a-2b-4}&{①}\\{2x-y=a+b-8}&{②}\end{array}\right.$，
①×2，得：2x+4y=6a-4b-8 ③，
③-②，得：5y=5a-5b，
解得：y=a-b，
将y=a-b代入①，得：x+2a-2b=3a-2b-4，
解得：x=a-4，
∴点P的坐标为（a-4，a-b）；

（2）∵点P在第二象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-4＜0}\\{a-b＞0}\end{array}\right.$，
解得：b＜a＜4，
∵符合要求的整数a只有三个，
∴别的取值范围为0≤b＜1；

（3）根据题意有（a-b）z+a-4+4＞0，
∴（a-b）z＞-a，
∵点P在第四象限，
∴a-b＜0，
∴z＜$\frac{a}{b-a}$，
∵不等式的解集为z＜$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{a}{b-a}$=$\frac{2}{3}$，
∴b=$\frac{5}{2}$a，
∴关于t的不等式at＞b变形为at＞$\frac{5}{2}$a，
又∵点P在第四象限，
∴a-4＞0，即a＞4，
∴t＞$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查解一元一次不等式、解二元一次方程组的能力，熟练掌握加减消元的方法和解不等式的基本依据是解题的关键．