Question

如图，CD是△ABC中∠ACB的平分线，E是AC上的一点，且CD²=BC•CE，AD=6，AE=4．
（1）求证：△BCD∽△DCE．
（2）求AC的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）CD²=BC•CE，即

CD

BC

=

CE

CD

，然后根据两边的比相等，且夹角相等的两个三角形相似，即可证得；
（2）首先证明△ACD∽△ADE，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得．

解答：（1）证明：∵CD²=BC•CE，
∴

CD

BC

=

CE

CD

，
又∵∠BCD=∠ACD，
∴△BCD∽△DCE；
（2）解：∵△BCD∽△DCE，
∴∠BDC=∠DEC，
又∵∠BDC=∠ACD+∠A，∠DEC=∠ADE+∠A，
∴∠ADE=∠ACD，
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ADE，
∴

AD

AE

=

AC

AD

，即

6

4

=

AC

6

，
解得：AC=

9

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，证明∠ADE=∠ACD是关键．