Question

已知，如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，在不添加辅助线的条件下：
（1）∠BAC与∠DAE满足什么关系时，（

 

）²=BD•CE（括号里填图中已有线段）；
（2）证明你的结论．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据图形可以得到括号中的线段一定是AB或AC，根据△ADB∽△EAC，对应角相等以及等腰三角形的性质即可求得∠BAC和∠DAE的关系；
（2）证明△ADB∽△EAC，即可证得．

解答：（1）解：当2∠DAE-∠BAC=180°时，AB²=BD•CE；
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠CAE=∠ADB，
∴△ADB∽△EAC，
∵2∠DAE-∠BAC=180°，
∴∠DAE-∠BAC=90°-

1

2

∠BAC．
又∵∠EAC=∠DAE-∠BAC-∠DAB，
∠ADB=∠ABC-∠DAB=90°-

1

2

∠BAC-∠DAB，
∴∠ADB=∠EAC；
又∵∠ABD=∠ECA，
∴△ADB∽△EAC，
∴

AB

EC

=

DB

AC

，
∴AB•AC=BD•EC，
又∵AB=AC，
∴AB²=BD•EC．

点评：本题考查了利用等腰三角形的性质，三角形的内角和，邻补角的概念，相似三角形的判定和性质求解．