Question

19．（1）如图①，在矩形ABCD中，在BC边上是否存在点P，使∠APD=90°，若存在请用直尺和圆规作出点P（保留作图痕迹）
（2）若AB=4，AD=10，求出图①中BP的长．
（3）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为AB，AC的中点，当AD=6时，BC边上是否存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长．

Answer 1

分析 （1）以AD为直径画圆与BC交于点P₁、P₂，则点P₁、P₂为所求点；
（2）由矩形的性质得到AD=BC=10，AB=CD=4根据三角形相似即可解出；
（3）由三角形的中位线得到EF∥BC，$EF=\frac{1}{2}BC=6$，根据EF与BC间距离为3，推出以EF为直径的⊙O与BC相切，得出BC上符合条件的点Q只有一个，记⊙O与BC相切于点Q，连接OQ，过点E作EG⊥BC，垂足为G，证出四边形EOQG为正方形，由勾股定理即可求出．

解答 解：（1）如图所示，则点P₁、P₂为所求点；

（2）在矩形ABCD中，AD=BC=10，AB=CD=4，
设BP=x，则PC=10-x，
∵∠APD=90°，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠CPD，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCD，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$，
∴$\frac{4}{10-x}=\frac{x}{4}$，
解得：x₁=2，x₂=8，
∴BP的长是2或8；     

（3）如图：
∵EF分别为AB、AC的中点，
∴EF∥BC，$EF=\frac{1}{2}BC=6$，
∵AD=6，AD⊥BC，
∴EF与BC间距离为3，
∴以EF为直径的⊙O与BC相切，
∴BC上符合条件的点Q只有一个，记⊙O与BC相切于点Q，
连接OQ，过点E作EG⊥BC，垂足为G，
∴EG=OE=3，
∴四边形EOQG为正方形，
在Rt△EBG中，∠B=60°，EG=3，∴$BG=\sqrt{3}$，∴$BQ=3+\sqrt{3}$．

点评 本题考查了基本作图，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，找准BC上符合条件的点Q只有一个是解题的关键．