Question

11．半圆⊙O中，AB为直径，C、D为半圆上任意两点，将$\widehat{CD}$沿直线CD翻折使AB与$\widehat{CD}$相切，已知AB=8，求CD的最大值4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 当CD∥AB时，有最大值，过O作CD的垂线交CD于点E，连接CO，利用折叠的性质，易得OE=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$×4=2，利用勾股定理得CE，易得AD．

解答 解：当CD∥AB时，有最大值，
过O作CD的垂线交CD于点E，连接CO，
∴OE=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$×4=2，CE=DE=$\frac{1}{2}$CD，
∵AB=8，
∴CE=$\sqrt{{CO}^{2}{-OE}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{-2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴CD=4$\sqrt{3}$，
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了切线性质的运用“见切点，连半径，见垂直”，折叠的性质，分析出当CD∥AB时，有最大值，是解答此题的关键．