Question

12．如图，一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°
（1）求点C的坐标；
（2）求过B、C两点的直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作CD⊥x轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C点坐标；
（2）用待定系数法即可求出直线BC的解析式．

解答 解：（1）∵一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+2中，
令x=0得：y=2；令y=0，解得x=3，
∴B的坐标是（0，2），A的坐标是（3，0）．   
如图，作CD⊥x轴于点D．

∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO．
在△ABO与△CAD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠ACD}\\{∠BOA=∠ADC=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴OB=AD=2，OA=CD=3，OD=OA+AD=5．
则C的坐标是（5，3）．  
                  
（2）设直线BC的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=3}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{5}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式是y=$\frac{1}{5}$x+2．

点评 本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．