Question

9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（-6，0），D（-7，3），点B、C在第二象限内．
（1）点B的坐标（-3，1）；
（2）将正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE≌△BAF，从而得出DE=AF，AE=BF，再结合点A、D的坐标即可求出点B的坐标；
（2）设反比例函数为y=$\frac{k}{x}$，根据平行的性质找出点B′、D′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、t的二元一次方程组，解方程组解得出结论；
（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，$\frac{6}{n}$）．分B′D′为对角线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m、n的方程组，解方程组即可得出结论．

解答 解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如图1所示．

∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∵∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF．
在△ADE和△BAF中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠BFA=90°}\\{∠ADE=BAF}\\{AD=BA}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴DE=AF，AE=BF．
∵点A（-6，0），D（-7，3），
∴DE=3，AE=1，
∴点B的坐标为（-6+3，0+1），即（-3，1）．
故答案为：（-3，1）．
（2）设反比例函数为y=$\frac{k}{x}$，
由题意得：点B′坐标为（-3+t，1），点D′坐标为（-7+t，3），
∵点B′和D′在该比例函数图象上，
∴k=（-3+t）×1=（-7+t）×3，
解得：t=9，k=6，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$．
（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，$\frac{6}{n}$）．
以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：
①当B′D′为对角线时，
∵四边形B′PD′Q为平行四边形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6}{n}-3=1}\\{m-6=2-n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{13}{2}}\\{n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{13}{2}$，0），Q（$\frac{3}{2}$，4）；
②当B′D′为边时．
∵四边形PQB′D′为平行四边形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-n=6-2}\\{\frac{6}{n}-0=3-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=7}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴P（7，0），Q（3，2）；
∵四边形B′QPD′为平行四边形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n-m=6-2}\\{0-\frac{6}{n}=3-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-7}\\{n=-3}\end{array}\right.$．
综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形，符合题意的点P、Q的坐标为P（$\frac{13}{2}$，0）、Q（$\frac{3}{2}$，4）或P（7，0）、Q（3，2）或（-7，0）、（-3，-2）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出△ADE≌△BAF；（2）找出关于k、t的二元一次方程组；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键．