Question

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，AB=5cm，△ABC的内心与顶点C的距离为（　　）

• A． 1cm
• B． $\sqrt{2}$cm
• C． $\sqrt{3}$cm
• D． 3cm

Answer 1

分析 如图，⊙O为△ABC的内切圆，作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，先得到四边形ODCE为正方形，则CD=CE=r，根据切线长定理得到AD=AF=4-r，BE=BF=3-r，则4-r+3-r=5，解得r=1，然后根据正方形的性质求出OC即可．

解答 解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，
设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，
易得四边形ODCE为正方形，
∴CD=CE=r，
∴AD=AF=4-r，BE=BF=3-r，
而AF+BF=AB，
∴4-r+3-r=5，解得r=1，
∴OC=$\sqrt{2}$OD=$\sqrt{2}$，
即△ABC的内心与顶点C的距离为$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题考查了三角形内心的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的性质．