Question

13．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如$\frac{5}{\sqrt{3}}$，$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）$\frac{5}{\sqrt{3}}$=$\frac{5×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$；
（二）$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{2×（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{2（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}）^{2}-1}$=$\sqrt{3}$-1；
（三）$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{3-1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1．以上这种化简的方法叫分母有理化．
（1）请用不同的方法化简$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$：
①参照（二）式化简$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$．
②参照（三）式化简$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$．
（2）化简：$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{97}}$．

Answer 1

分析 （1）原式各项仿照题中分母有理化的方法计算即可得到结果；
（2）原式各项分母有理化，计算即可得到结果．

解答 解：（1）①$\frac{2×（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}$=$\frac{2（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}{（\sqrt{5}）2-（\sqrt{3}）2}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$；
②$\frac{5-3}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\frac{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$；
（2）原式=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$+…+$\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{2}$=$\frac{\sqrt{99}-1}{2}$=$\frac{3\sqrt{11}-1}{2}$．
故答案为：（1）①$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$；②$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$

点评 此题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解本题的关键．