Question

19．如图，在直角坐标系xOy内，四边形ABCD为正方形，已知点B（0，3），C（4，0）．
（1）过点作DE⊥x轴，垂足为E，△OBC与△ECD全等吗？请说明理由；
（2）写出点D的坐标；
（3）用同样的方法求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据正方形性质和垂直得出∠DEC=∠BOC=∠BCD=90°，BC=CD，求出∠OBC=∠DCE，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出OB=CE，OC=DE，求出DE=OC=4，CE=OB=3，求出OE=7，即可得出答案；
（3）过A作AF⊥y轴于F，同法求出△AFB≌△BOC，推出OB=AF，BF=OC，即可得出答案．

解答 解：（1）△OBC与△ECD全等，
理由是：∵DE⊥x轴，四边形ABCD是正方形，
∴∠DEC=∠BOC=∠BCD=90°，BC=CD，
∴∠OBC+∠OCB=90°，∠OCB+∠DCE=90°，
∴∠OBC=∠DCE，
在△BOC和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBC=∠DCE}\\{∠BOC=∠DEC}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△CED；

（2）∵△BOC≌△CED，
∴OB=CE，OC=DE，
∵点B（0，3），C（4，0），
∴OB=3，OC=4，
∴DE=OC=4，CE=OB=3，
∴OE=3+4=7，
∴点D的坐标是（7，4）；

（3）如图，过A作AF⊥y轴于F，

∵AF⊥y轴，四边形ABCD是正方形，
∴∠AFB=∠BOC=∠ABC=90°，BC=AB，
∴∠FAB+∠FBA=90°，∠FBA+∠OBC=90°，
∴∠FAB=∠OBC，
在△AFB和△BOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAB=∠OBC}\\{∠AFB=∠BOC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△BOC，
∴OB=AF，BF=OC，
∵点B（0，3），C（4，0），
∴OB=3，OC=4，
∴BF=OC=4，AF=OB=3，
∴OF=3+4=7，
∴点A的坐标是（4，7）．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，正方形的性质的应用，能推出两三角形全等是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．