Question

11．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm，BD=8cm．动点P、Q分别从点B、D同时出发，终点分别为D、B，运动速度均为1cm/s．点P沿B→C→D运动，点Q沿D→O→B运动．连接AP、AQ、PQ，设△APQ的面积为y（cm²），（A、P、Q不构成三角形时，规定面积y=0），点P的运动时间为x（s）
（1）填空：AB=5cm，AB与CD之间的距离为4.8cm；
（2）当0＜≤x≤5时，求y与x之间的函数解析式；
（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值．

Answer 1

分析 （1）过点A作AH⊥CD于H，如图1．利用菱形的性质及勾股定理就可求出AB的值，然后运用菱形的面积公式就可求出AB与CD之间的距离；
（2）当0≤x≤5时，点P在BC上，如图2①、图2②．过点A作AE⊥BC于E，过点P作PG⊥BD于G，则有PG∥OC，从而可得△BGP∽△BOC，根据相似三角形的性质可得PG=$\frac{3}{5}$x，从而可用x的代数式表示出S_△ABQ，S_△PBQ，S_△ABP，然后运用割补法就可解决问题；
（3）可分两种情况讨论（①PQ∥CD，②PQ∥BC），然后运用相似三角形的性质就可解决问题．

解答 解：（1）过点A作AH⊥CD于H，如图1．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC=$\frac{1}{2}$AC=3，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD=4，AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∵S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=CD•AH，
∴$\frac{1}{2}$×6×8=5AH，
∴AH=4.8．
故答案为5、4.8；

（2）当0≤x≤5时，点P在BC上，如图2①、图2②．

过点A作AE⊥BC于E，过点P作PG⊥BD于G，
则有PG∥OC，
∴△BGP∽△BOC，
∴$\frac{PG}{OC}$=$\frac{BP}{BC}$，即$\frac{PG}{3}$=$\frac{x}{5}$，∴PG=$\frac{3}{5}$x，
∴S_△ABQ=$\frac{1}{2}$BQ•AO=$\frac{1}{2}$（8-x）•3=12-$\frac{3}{2}$x，
S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BQ•PG=$\frac{1}{2}$（8-x）•$\frac{3}{5}$x=$\frac{12}{5}$x-$\frac{3}{10}$x²，
S_△ABP=$\frac{1}{2}$BP•AE=$\frac{1}{2}$x•$\frac{24}{5}$=$\frac{12}{5}$x，
∴y=|S_△ABQ+S_△PBQ-S_△ABP|
=|12-$\frac{3}{2}$x+$\frac{12}{5}$x-$\frac{3}{10}$x²-$\frac{12}{5}$x|，
=|-$\frac{3}{10}$x²-$\frac{3}{2}$x+12|．
当y=0时，-$\frac{3}{10}$x²-$\frac{3}{2}$x+12=0，
整理得x²+5x-40=0，
解得x₁=-$\frac{5}{2}$+$\frac{\sqrt{185}}{2}$，x₂=-$\frac{5}{2}$-$\frac{\sqrt{185}}{2}$（舍负），
∴当0≤x≤-$\frac{5}{2}$+$\frac{\sqrt{185}}{2}$时，y=-$\frac{3}{10}$x²-$\frac{3}{2}$x+12；
当-$\frac{5}{2}$+$\frac{\sqrt{185}}{2}$＜x≤5时，y=$\frac{3}{10}$x²+$\frac{3}{2}$x-12．

（3）符合条件的x的值为$\frac{40}{13}$、$\frac{80}{13}$．
提示：①当PQ∥CD时，如图3，

则有△BPQ∽△BCD，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BD}$，即$\frac{x}{5}$=$\frac{8-x}{8}$，
解得x=$\frac{40}{13}$；
②当PQ∥BC时，如图4，

则有△DPQ∽△DCB，
∴$\frac{DQ}{DB}$=$\frac{DP}{DC}$，即$\frac{x}{8}$=$\frac{10-x}{5}$，
解得x=$\frac{80}{13}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、解一元二次方程、菱形的面积公式等知识，在解决问题的过程中，用到了分类讨论、割补法等重要的数学思想方法，应熟练掌握．需要注意的是，运用割补法求y与x的函数关系时，由于点A、P、Q三点共线前后，S_△ABQ+S_△PBQ与S_△ABP的大小关系发生变化，故需分类讨论，避免出现漏解的现象．