Question

19．学习（图形的相似）后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件，“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到：“满足斜边和一条直角边的比相等的两个直角三角形相似”，请结合下列所给图形，写出已知、求证，并完成说理过程．

Answer 1

分析 类似有斜边和一条直角边的比相等的两个直角三角形相似．写出已知和求证，设$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AC}{A′C′}$=k，则AB=kA′B′，AC=kA′C′，利用勾股定理得到$\frac{BC}{B′C′}$=k，则$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AC}{A′C′}$=$\frac{BC}{B′C′}$，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△A′B′C′．

解答 解：求证：斜边和一条直角边的比相等的两个直角三角形相似．
已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AC}{A′C′}$，
求证：△ABC∽△A′B′C′．
证明：设$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AC}{A′C′}$=k，则AB=kA′B′，AC=kA′C′，
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{（kA′B′）^{2}-（kA′C′）^{2}}$=k$\sqrt{A′B{′}^{2}-A′C{′}^{2}}$，
在Rt△A′B′C′中，B′C′=$\sqrt{A′B{′}^{2}-A′C{′}^{2}}$，
则$\frac{BC}{B′C′}$=k，
所以$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AC}{A′C′}$=$\frac{BC}{B′C′}$，
所以△ABC∽△A′B′C′．
即斜边和一条直角边的比相等的两个直角三角形相似．
故答案为斜边和一条直角边的比相等．

点评 本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了勾股定理．