Question

19．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，射线DP交$\widehat{AC}$于点E，交过点C的切线于点F．
（1）求证：FC=FP；
（2）若∠CAB=30°，当E是$\widehat{AC}$的中点时，判断以A，O，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据切线的性质得出OC⊥CF以及∠OAC=∠OCA得∠FCP=∠FPC，可证得结论；
（2）由∠CAB=30°易得△AOE、△EOC均是等边三角形，可得AE=AO=OC=CE，易得以A，O，C，E为顶点的四边形是菱形．

解答 （1）证明：连接OC     
∵CF是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴∠FCA+∠ACO=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∵PD⊥AB，
∴∠PAD+∠APD=90°，
而∠APD=∠CPF，
∴∠PAD+∠CPF=90°，
∴∠FCP=∠FPC，
∴FC=FP；

（2）解：以A，O，C，E为顶点的四边形是菱形，
理由如下：
∵∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，从而∠AOC=120°，
∵E是$\widehat{AC}$的中点，
∴∠AOE=∠EOC=60°，
∴△AOE、△EOC均是等边三角形，
∴AE=AO=OC=CE，
∴四边形AOCE是菱形．

点评 本题主要考查了切线的性质、圆周角定理和等边三角形的判定等，作出恰当的辅助线利用切线的性质是解答此题的关键．