Question

16．已知平行四边形ABCD的周长为44，过点A作AE⊥直线BC于E，作AF⊥直线CD于点F，若AE=5，AF=6，则CE+CF的值为2+$\sqrt{3}$或22+11$\sqrt{3}$．．

Answer 1

分析 本题考虑两种情形：①如图1中，当∠BAD是钝角时，设AB=a，BC=b，列方程组求出a、b，再利用勾股定理求出BE、DF，即可解决问题．②如图2中，当∠BAD是锐角时，求出CE、CF即可．

解答 解：①如图1中，当∠BAD是钝角时，设AB=a，BC=b，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=a，$\frac{1}{2}$•BC•AE=$\frac{1}{2}$•CD•AF，
∴6a=5b  ①
∵a+b=22 ②
由①②解得a=10，b=12，
在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，AB=10，AE=5，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
∴EC=12-5$\sqrt{3}$，
在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°．AD=12，AF=6．
∴DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∵6 $\sqrt{3}$＞10，
∴CF=DF-CD=6$\sqrt{3}$-10，
∴CE+CF=EC+CF=2+$\sqrt{3}$．
②如图2中，当∠BAD是锐角时，由①可知：DF=6 $\sqrt{3}$，BE=5$\sqrt{3}$，
∴CF=10+6$\sqrt{3}$，CE=12+5$\sqrt{3}$，
∴CE+CF=22+11$\sqrt{3}$．
故答案为：2+$\sqrt{3}$或22+11$\sqrt{3}$．

点评 本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，注意本题有两个解，通过计算确定高的位置，属于中考常考题型．