Question

8．如图，在△ACB中，AB=AC=5，BC=6，点D在△ACB外接圆的$\widehat{AC}$上，AE⊥BC于点E，连结DA，DB．
（1）求tan∠D．
（2）作射线CD，过点A分别作AH⊥BD，AF⊥CD，垂足分别为H，F，求证：DH=DF．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质求出EC，根据勾股定理求出AE，根据圆周角定理得到∠D=∠C，根据正切的概念计算即可；
（2）根据等腰三角形的性质、角平分线的性质定理证明即可．

解答 （1）解：∵AB=AC，AE⊥BC，
∴EC=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-E{C}^{2}}$=4，
∴tan∠C=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{4}{3}$，
由圆周角定理得，∠D=∠C，
∴tan∠D=$\frac{4}{3}$；
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，又∠ACB=∠ADH，∠ADF=∠ABC，
∴∠ADH=∠ADF，
∴∠DAH=∠DAF，又AH⊥BD，AF⊥CD，
∴DH=DF．

点评 本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质是解题的关键．