Question

5．如图，矩形纸片ABCD中，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC交点为O，连DE，求证：DE∥AC．

Answer 1

分析 根据矩形的性质和折叠的性质可得BC=CE=AD，AB=AE=CD，根据全等三角形的性质可得∠EDC=∠DEA，由于△ACE与△ACB关于AC所在直线对称，可得∠OAC=∠CAB，根据等量代换可得∠OAC=∠DEA，再根据平行线的判定即可求解．

解答 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，
又∵AC是折痕，
∴BC=CE=AD，
AB=AE=CD，
在△ADE与△CED中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=AD}\\{AE=CD}\\{DE=ED}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CED（SSS）；
∴∠EDC=∠DEA，
又∵△ACE与△ACB关于AC所在直线对称，
∴∠OAC=∠CAB，
∵∠OCA=∠CAB，
∴∠OAC=∠OCA，
∴2∠OAC=2∠DEA，
∴∠OAC=∠DEA，
∴DE∥AC．

点评 本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．