Question

16．如图，抛物线与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）抛物线在第一象限内是否存在点P，过P作PM⊥x轴于M，使得以A，P，M为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将三点代入即可求出此抛物线的解析式；
（2）由于BO=OC，∠BOC=90°，所以△BOC是等腰直角三角形，设出点P的坐标，使AM=PM，据此即可得解．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
将点A（-1，0），点B（3，0）和点C（0，3）代入可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴此抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；
（2）存在，如图，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，连接AP，

∵BO=OC=3，∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
设点P（m，-m²+2m+3）（0＜m＜3），
则：AM=m+1，PM=-m²+2m+3，
若Rt△BOC∽Rt△AMP，则：AM=PM，
∴m+1=-m²+2m+3，
解得：m=2，或m=-1，
又∵0＜m＜3，
∴m=2，
∴P（2，3）．

点评 本题主要考查了用待定系数法求抛物线的解析式，以及二次函数与三角形相似的综合问题，仔细分析△BOC的结构特点是解题的关键，有比较强的综合性，要注意认真总结．