Question

8．如图所示，将边长为1cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC上，对应点为E，点A对应点为F，EF交AB于G点，折痕为MN，连接DE，NG，则下列结论正确的是：①∠MNE=∠NMB；②∠DEC=∠DEG；③MN=DE；④△BEG的周长为定值．其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根据折叠得出∠MNE=∠MND，再利用平行线得出∠NMB=∠MND，证明①正确；根据∠DEC+∠EDC=90°，∠DEG+∠DEN=90°，利用DN=NE，得出∠DEN=∠EDC，证明②正确；在Rt△MNG和Rt△DEC中，ASA证明全等，证明③正确；证△BGE∽△CEN，两个三角形的周长的比是GE：EN，因为GE和EN不发生变化，故④正确，即可判断．

解答 解：∵将边长为1cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC上，对应点为E，点A对应点为F，EF交AB于G点，折痕为MN，
∴∠MNE=∠MND，
∵AB∥CD，
∴∠NMB=∠MND，
∴①∠MNE=∠NMB正确；
∵折叠，
∴∠DEC+∠EDC=90°，∠DEG+∠DEN=90°，DN=NE，
∴∠DEN=∠EDC，
∴②∠DEC=∠DEG正确；
∵在Rt△MNG和Rt△DEC中，
∠MGN=∠C=90°，DC=GN，∠CDE+∠MND=90°=∠MND+∠MNG，即∠CDE=∠GNM
∴△CDE=△GNM
∴③MN=DE正确；
∵∠GBE=90°，
∴∠BGE+∠BEG=90°．
∵∠BEG+∠CEN=90°，
∴∠BGE=∠CEN．
又∵∠B=∠C，
∴△BEG∽△CEN，
∴两个三角形的周长的比是GE：EN，
∵GE和EN不发生变化，故④△BEG的周长为定值正确；
故选D

点评 此题通过折叠变换考查了三角形的全等及相似等知识点，难度较大．