如图.在平面直角坐标系中.点A.C的坐标分别为点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A.B.C三点.且它的对称轴为直线x=1.点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点.过点P作y轴的平行线交BC于点F．(1)求该二次函数的解析式,(2)求直线BC的解析式,(3)若设点P的横坐标为m.①用含m的代数式表示线段PF的长．②求△PBC面积的最大值.并求此时点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-1，0）、（0，-6）点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求直线BC的解析式；
（3）若设点P的横坐标为m，
①用含m的代数式表示线段PF的长．
②求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．
③求△PCF为等腰三角形时m的值．

分析（1）由对称性可求得B点坐标，利用待定系数法可求得二次函数的解析式；
（2）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式；
（3）①用m可分别表示出P、F的坐标，则可表示出PF的长；②由S_△PBC=$\frac{1}{2}$PF•OB，可用m表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，及取得最大值时的P点坐标；③用m可分别表示出CF、PF的长，分PC=PF、PC=CF和PF=CF三种情况，分别求m的值即可．

解答解：
（1）∵A（-1，0）、B都在x轴上，
∴A、B关于对称轴x=1对称，
∴B（3，0），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-4}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=2x²-4x-6；
（2）∵C（0，-6），
∴可设直线BC解析式为y=kx-6，
把B点坐标代入可得3k-6=0，解得k=2，
∴直线BC解析式为y=2x-6；
（3）①由题意可知P（m，2m²-4m-6），F（m，2m-6），
∵点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），
∴PF=2m-6-（2m²-4m-6）=-2m²+6m；
②S_△PBC=$\frac{1}{2}$PF•OB=$\frac{1}{2}$×3（-2m²+6m）=-3（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{4}$，
∵-3＜0，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，S_△PBC有最大值，最大值为$\frac{27}{4}$，此时P点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{2}$）；
③∵P（m，2m²-4m-6），F（m，2m-6），C（0，-6），
∴PC=$\sqrt{{m}^{2}+（2{m}^{2}-4m-6+6）^{2}}$=$\sqrt{4{m}^{4}-16{m}^{3}+16{m}^{2}}$=2|m（m-2）|，
PF=-2m²+6m，FC=$\sqrt{{m}^{2}+（2m-6+6）^{2}}$=$\sqrt{5}$|m|，
∵△PCF为等腰三角形，
∴有PC=PF、PC=CF和PF=CF三种情况，
当PC=PF时，则有2|m（m-2）|=-2m²+6m，解得m=0（与C点重合，舍去）或m=$\frac{5}{2}$，
当PC=CF时，则有2|m（m-2）|=$\sqrt{5}$|m|，解得m=0（舍去）或m=2-$\frac{\sqrt{5}}{2}$或m=2+$\frac{\sqrt{5}}{2}$（大于3，舍去），
当PF=CF时，则有-2m²+6m=$\sqrt{5}$|m|，解得m=0（舍去）或m=$\frac{6-\sqrt{5}}{2}$，
综上可知当△PCF为等腰三角形时m的值为$\frac{5}{2}$或2-$\frac{\sqrt{5}}{2}$或m=$\frac{6-\sqrt{5}}{2}$．

点评本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得B点坐标是解题的关键，在（3）①②中用m表示出PF的长是解题的关键，在（3）③中用m表示出PC、PF、CF的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．