题目内容
14．操作体验（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC的中线AD，并判断△ABD与△ACD的面积大小关系．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，已知点A（2，4），B（-1，0），C（3，0），试确定过点A的一条直线l，平分△ABC的面积，请写出直线l的表达式．
综合运用
（3）如图③，在平面直角坐标系中，若A（1，4），B（3，2），那么在直线y=-4x+20上是否存在一点C，使直线OC恰好平分四边形OACB的面积？若存在，请计算点C的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）过A作AE⊥BC于点E，则可表示出△ABD和△ACD的面积，可比较其大小关系；
（2）由（1）可知直线l应过BC的中点F，由B、C的坐标可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线l的表达式；
（3）由条件可知直线OC过AB的中点G，由AB的坐标可求得G的坐标，利用待定系数法可求得直线OC的解析式，联立两直线解析式可求得C点坐标．
解答 解：
（1）如图①，过A作AE⊥BC于点E，
∵AD为BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴$\frac{1}{2}$BD•AE=$\frac{1}{2}$CD•AE，
即S△ABD=S△ACD；
（2）如图②，设BC的中点为F，
∵直线l平分△ABC的面积，
∴由（1）可知直线l过点F，
∵B（-1，0），C（3，0），
∴F（1，0），
设直线l的表达式为y=kx+b，
把A、F的坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直线l的表达式y=4x-4；
（3）如图③，连接AB交OC于点G，
∵直线OC恰好平分四边形OACB的面积，
∴直线OC过AB的中点，即G为AB的中点，
∵A（1，4），B（3，2），
∴G（2，3），
设直线OC解析式为y=ax，则3=2a，解得a=$\frac{3}{2}$，
∴直线OC表达式为y=$\frac{3}{2}$x，
联立两直线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-4x+20}\\{y=\frac{3}{2}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{40}{11}}\\{y=\frac{60}{11}}\end{array}\right.$，
∴存在满足条件的点C，其坐标为（$\frac{40}{11}$，$\frac{60}{11}$）．
点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的中线、三角形的面积等知识．在（1）中表示出两三角形的面积是解题的关键，在（2）中确定出直线l过BC的中点是解题的关键，在（3）中求得直线OC的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．
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如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-1，0）、（0，-6）点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．
如图，在 Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，分别过A、B作过C的直线l的垂线，垂足分别为M、N．| 得分/分 | 60分以下 | 60～75 | 75～90 | 90～100 |
| 频率 | 20% | 25% | 30% | 25% |
| A． | 75人 | B． | 125人 | C． | 135人 | D． | 165人 |