题目内容
【倾听理解】（这是习题讲评课上师生围绕一道习题的对话片断）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
师：当BD=1时，同学们能求哪些量呢？
生1：求BC、OD的长．
生2：求
 |
| BC |
|
| AC |
…
师：正确！老师还想追问的是：去掉“BD=1”，大家能提出怎样的问题呢？
生3：求证：DE的长为定值．
生4：连接AB，求△ABC面积的最大值．
…
师：你们设计的问题真精彩，解法也很好！
【一起参与】
（1）求“生2”的问题：“当BD=1时，求
|
| BC |
|
| AC |
（2）选择“生3”或“生4”提出的一个问题，并给出解答．
考点：圆的综合题
专题：
分析：（1）连OC，当BD=1时，根据OD⊥BC可知BC=2BD=2，故△OBC是等边三角形，再根据弧长公式即可得出结论；
（2）生3的问题：连结AB，在Rt△AOB中，直接根据直角三角形的性质可得出DE的长；生4的问题：当点C弧AB的中点时，△ABC面积的最大值，再根据三角形的面积公式得出结论即可．
（2）生3的问题：连结AB，在Rt△AOB中，直接根据直角三角形的性质可得出DE的长；生4的问题：当点C弧AB的中点时，△ABC面积的最大值，再根据三角形的面积公式得出结论即可．
解答：
解：（1）连OC，当BD=1时，
∵OD⊥BC
∴BC=2BD=2，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=30°，
∴
=
•4π=
π．
∴
=
•4π=
π；
（2）生3的问题：连结AB，在Rt△AOB中，AB=2
，
∴DE=
AB=
．
生4的问题：当点C弧AB的中点时，△ABC面积的最大值，
此时最大值为2
-2．
解：（1）连OC，当BD=1时，∵OD⊥BC
∴BC=2BD=2，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=30°，
∴
|
| BC |
| 60 |
| 360 |
| 2 |
| 3 |
∴
|
| AC |
| 30 |
| 360 |
| 1 |
| 3 |
（2）生3的问题：连结AB，在Rt△AOB中，AB=2
| 2 |
∴DE=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
生4的问题：当点C弧AB的中点时，△ABC面积的最大值，
此时最大值为2
| 2 |
点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到弧长公式及等边三角形、直角三角形的性质等知识，难度适中．
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