Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=10，cos∠OCA=

3

5

，将矩形OABC对折，使点A落在点C处，折痕在直线MN上．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）若反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象与线段AC有公共点，直接写出k的取值范围．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）在直角三角形ACO中，由AC与cos∠OCA，利用锐角三角函数定义求出OC的长，再利用勾股定理求出OA的长，即可确定出A的坐标；
（2）MN是矩形OABC对折后折痕所在的直线，即MN为AC的中垂线，设MN与AC的交点为P，则有PA=PC=5，利用锐角三角函数定义求出AN的长，进而求出ON的长，确定出N点坐标，同理求出CM的长，确定出M点坐标，设直线MN解析式为y=kx+b，将M与N坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线MN解析式；
（3）设直线AC解析式为y=ax+m，将A与C坐标代入求出a与m的值，确定出直线AC解析式，与反比例函数解析式联立，消元y得到关于x的一元二次方程，根据反比例函数与线段AC有公共点，得到根的判别式大于等于0，即可确定出k的范围．

解答：解：（1）在Rt△ACO中，∵AC=10，cos∠OCA=

3

5

，
∴cos∠OCA=

OC

AC

=

3

5

，即

OC

10

=

3

5

，
∴OC=6，
∴OA=

AC2-OC2

=

102-62

=8，
∴点A的坐标为 （8，0）；

（2）MN是矩形OABC对折后折痕所在的直线，即MN为AC的中垂线，
设MN与AC的交点为P，则有PA=PC=

1

2

AC=5，
∴cos∠CAO=

OA

AC

=

AP

AN

，即

8

10

=

5

AN

，
∴AN=

25

4

，ON=OA-AN=8-

25

4

=

7

4

．
∴N（

7

4

，0），
同理CM=AN=0A-ON=8-

7

4

=

25

4

，
∴M（

25

4

，6），
设直线MN的解析式为y=kx+b，
∴

6= 25 4 k+b 0= 7 4 k+b.

，
解得：

k= 4 3 b=- 7 3 .

，
则直线MN解析式为y=

4

3

x-

7

3

；

（3）设直线AC解析式为y=ax+m，
将A（8，0），C（0，6）代入得：

8a+m=0 m=6

，
解得：a=-

3

4

，m=6，
∴线段AC解析式为y=-

3

4

x+6（0≤x≤8），
联立得：

y= k x y=- 3 4 x+6

，
消去y得：-

3

4

x+6=

k

x

，
整理得：3x²-24x+4k=0，
∵反比例函数与线段AC有公共点，
∴△=24²-4×3×4k≥0，
解得：k≤12，
∵反比例函数在x＞0时，图象位于第一象限，
∴k＞0，
则k的范围为0＜k≤12．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，坐标与图形性质，锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．