Question

阅读下面文字，解决下列问题
（1）问题背景 宇昕同学遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD上的点，且∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．
宇昕是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．
他的方法是将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GE即是DF+BE．
请回答：在图2中，∠GAF的度数是

 

、△AGE≌△

 

．
（2）拓展研究  如图3，若E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠B+∠D=180°，AB=AD，要使（1）中线段BE，EF，FD的等量关系仍然成立，则∠EAF与∠BAD应满足的关系是

 

．
（3）构造运用  运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下面问题：如图4，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=22.5°，点E在AB上，且∠DCE=67.5°，DE⊥AB于点E，若AE=3

2

，试求线段AD，BE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质,旋转的性质

专题：

分析：（1）将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，所以AG=AF，∠GAF=90°因为∠EAF=45°，所以∠GAE=∠EAF=45°，从而证得△AGE≌△AEF；
（2）延长FD使DG=BE，连接AG，可证得△ABE≌△ADG，从而证得△AEF≌△AFG，则可证得∠EAF=

1

2

∠BAD；
（3）由∠CAB=∠CAD=22.5°可得∠DAE=45°，DE⊥AB所以DE=AE=3

2

．根据勾股定理可求得AD=6，由∠CAB=∠CAD=22.5°根据角的平分线上的点到两边的点到两边的距离相等，可证得BC=CF，然后证得△CBG≌△CFD，再证得△CGE≌△CED，求得∠3=∠4=45°，从而求得CE=AE=3

2

，在△CBE中根据勾股定理求得BE的长，

解答：解；（1）∠GAF的度数是 90°、△AGE≌△AEF；
将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∠GAB=∠DAF，GB=DF，
∵∠GAF=90°，∠EAF=45°；
∴∠GAE=∠EAF=45°；
在△AGE与△AEF中
∴

AG=AF ∠GAE=∠EAF=45 AE=AE

，
∴△AGE≌△AEF（SAS），
∴GB+BE=EF，
∵GB=DF，
∴BE+DF=EF．

（2）∠EAF=

1

2

∠BAD，
延长FD使DG=BE，连接AG
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°
∴∠B=∠ADG；
在△ABE于△ADG中

AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG

∴△ABE≌△ADG（SAS）
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG；
∵BE+DF=EF，DG=BE，
∴DG+DF=EF，
即GF=EF，
在△AEF与△AFG中

AE=AG GF=EF AB=AD

∴△AEF≌△AFG（SSS），
∴∠FAG=∠EAF，
∵∠BAE=∠DAG，
∴∠BAE+∠CAD=∠FAG，
∴∠EAF=

1

2

∠BAD．

（3）∵∠CAB=∠CAD=22.5°，
∴∠DAE=45°，
又∵∠AED=90°，
∴DE=AE=3

2

，
∴AD=

DE2+AE2

=6．
延长AD，过点C作CF垂直AD于F，
由∠CAB=∠CAD可知AC为∠BAD的角平分线，
∴CB=CF，
把三角形CDF绕点C旋转到CF与CB重合，则DF与GB重合．
∴CG=CD，∠GCB=∠DCF；
∵CB⊥AB，CF⊥AD，∠CAB=∠CAD=22.5°；
∴∠ACB=∠ACF=67.5°=∠DCE
∴∠DCA=∠2=∠3，∠DCA+∠DCF=∠2+∠GCB=∠DCE=67.5°，
在△DCE与△GCE中

CG=CD ∠GCE=∠DCE CE=CE

，
∴△DCE≌△GCE（SAS），
∴∠3=∠4=45°，
∵∠CAB=∠CAD=22.5°，∠4=∠CAB+∠ACE，
∴∠ACE=∠CAB=22.5°，
∴CE=AE=3

2

，
在Rt△CBE中，BE²+BC²=CE²，
即BE=

1 2 CE2

=3．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，角平分线的性质，此题是开放性试题，首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．