Question

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx经过点A（4，0）．直线x=2与x轴交于点C，点E是直线x=2上的一个动点，过线段CE的中点G作DF⊥CE交抛物线于D、F两点．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）当点E落在抛物线顶点上时，求DF的长．
（3）设点E坐标为（2，2m）且m＞0，当四边形CDEF是正方形时，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点的坐标代入抛物线的解析式，求出b的值即可得到抛物线的解析式；
（2）根据题意先求出G的纵坐标，代入抛物线的解析式可求出F和D的横坐标，进而可求出DF的长；
（3）由四边形CDEF是正方形，E（2，2m），则F（2-m，m），把F点的坐标代入解析式即可求出m的值，进而可求出点E的坐标．

解答 解：（1）把（4，0）代入y=-x²+bx中，得b=4．
∴这条抛物线的解析式为y=-x²+4x．           

（2）由（1）可知抛物线的顶点坐标为（2，4）．      
∵G是EC的中点，
∴当y=2时，-x²+4x=2．
∴x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=2+$\sqrt{2}$，．                  
∴DF=2+$\sqrt{2}$-（2-$\sqrt{2}$）=2 $\sqrt{2}$．                   

（3）由题意E（2，2m），则F（2-m，m）．                
∵点F在抛物线上，
∴m=-（2-m）²+4（2-m）．
∴m=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$，2m=-1±$\sqrt{17}$．             
∴E₁（2，-1+$\sqrt{17}$），E₂=（2，-1-$\sqrt{17}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、一元二次方程、正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法，学会用方程的思想思考问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．