Question

1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=8，∠B=60°，则CF的长为2．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的性质可求得DE=DF，则可证明Rt△BDE≌Rt△CDF，可求得∠B=∠C，可证得AB=AC；
（2）由（1）的结论，结合条件可知△ABC为等边三角形，则可求得CD，在Rt△CDF中可求得CF=$\frac{1}{2}$CD，可求得答案．

解答 （1）证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）解：
∵AB=AC，且∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC=AB=8，∠C=∠B=60°，
∵BD=CD，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△CDF中，可求得∠CDF=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质和判定，在（1）中证得∠B=∠C是解题的关键，在（2）中求得CD的长是解题的关键．