Question

13．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠DAB．
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）过M作ME⊥AD于E，根据角平分线性质求出ME=MC=MB，再根据角平分线性质求出即可；
（2）根据平行线性质求出∠BAD+∠DC=180°，求出∠MAD+∠MDA=90°，即可求出答案．

解答 （1）证明：过M作ME⊥AD于E，
∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，
∴MC=ME，
∵M为BC的中点，
∴BM=MC=ME，
∵∠B=90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB；

（2）AM⊥DM，
证明：∵AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，
∴∠MAD=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠MDA=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∴∠MAD+∠MDA=90°，
∴∠AMD=90°，
∴AM⊥DM．

点评 本题考查了梯形的性质，平行线的性质，角平分线性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度适中．