Question

5．如图，直线y=-x+3与x、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．
（1）求该反比例函数的关系式；
（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴对称点为A′，求△ABC的周长和sin∠BA′C的值．

Answer 1

分析 （1）设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，把点P坐标代入即可解决问题．
（2）如图，连接AC、BA′、CA′，作CH⊥BA′于H．由sin∠BA′C=$\frac{CH}{CA′}$可知，求出CH、CA′即可解决问题．

解答 解：（1）设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，
∵反比例函数经过点P（2，1），
∴k=2，
∴y=$\frac{2}{x}$．

（2）如图，连接AC、BA′、CA′，作CH⊥BA′于H．

直对于线y=-x+3，令x=0得y=3，令y=0得x=3，
∴A（3，0），B（0，3），
∵PC⊥OB，P（2，1），
∴OC=1，OA=OB=OA′=3，BC=OB-OC=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•OA=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
在Rt△OCA′中，CA′=$\sqrt{OA{′}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
在Rt△BOA′中，BA′=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵sin∠CBH=$\frac{CH}{BC}$=$\frac{OA′}{BA′}$=$\frac{3}{3\sqrt{2}}$，
∴CH=$\sqrt{2}$，
∴sin∠BA′C=$\frac{CH}{CA′}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、锐角三角函数，勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．