Question

8．如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=90°，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积是$\frac{1}{24}$．

Answer 1

分析 过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D，构成直角三角形可证出Rt△ABE∽Rt△CED，然后证出其面积．

解答 解：如图，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．
因为∠ABE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，所以∠ABE=∠CED．
于是Rt△ABE∽Rt△CED，
所以$\frac{{S}_{△CDE}}{{S}_{△EAB}}$=（$\frac{CE}{AB}$）2=$\frac{1}{4}$．
又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，
所以$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CDF}}$=$\frac{CE}{CD}$=2．
所以S_△CEF=$\frac{2}{3}$S_△CDE=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{4}$S_△ABE=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{24}$．
故答案是：$\frac{1}{24}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是作出辅助线，然后构成直角三角形，用相似三角形的性质求面积．