Question

2．在△ABC中，AB=AC，P是BC边上的一点，过P引直线分别交AB于M，交AC的延长线于N，且PM=PN，MF∥AN．
（1）求证：△PMF≌△PNC；
（2）求证：BM=CN．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质得出∠MFP=∠NCP，由AAS证明△PMF≌△PNC即可；
（2）由全等三角形的性质得出FM=CN，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B=∠MFB，证出BM=FM，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵MF∥AN，
∴∠MFP=∠NCP，
在△PMF和△PNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MFP=∠NCP}&{\;}\\{∠MPF=∠NPC}&{\;}\\{PM=PN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PMF≌△PNC（AAS）；
（2）证明：由（1）得：△PMF≌△PNC，
∴FM=CN，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵MF∥AN，
∴∠MFB=∠ACB，
∴∠B=∠MFB，
∴BM=FM，
∴BM=CN．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．