Question

3．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B的坐标分别为（8，0）、（8，6），连结对角线AC，动点D从点O 出发，以每秒4个单位长度的速度沿着线段OA向点A运动，过点D作DE∥AC交OC边于点E，以DE为边向上作正方形DEFG．设正方形DEFG与△AOC重合部分图形的面积为y，运动时间为t．
（1）用含t的式子表示G、F两点的坐标．
（2）求y与t的函数关系式．
（3）当正方形的顶点落在BC或AB边上时，求t的值．
（4）在点D向点A运动的同时，点M从点B出发，向点C运动，在运动的过程中总保持BM=OD．已知点N的坐标为（8，4），过点M、N分别作BC、AB的垂线，两垂线交与点H，得到矩形BMHN．当正方形DEFG与矩形BMHN重合部分图形是四边形时，直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）过F作FJ⊥OC于J，过G作GI⊥OA于I，根据题意得到D（4t，0），通过△ODE∽△OAC，得到$\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OC}$，于是得到OE=3t，求得E（0，3t），根据正方形的性质和全等三角形的性质得到FJ=OE=3t，JE=OD=4t，即可得到结果；
（2）当0≤t≤$\frac{24}{37}$时，y=DE²，根据勾股定理得到DE²=OD²+OE²=25t²，求得y=25t²，当$\frac{24}{37}$＜t≤2时，由于AD=8-4t，DK=AD•sin∠OAC=$\frac{3}{5}$（8-4t），于是得到y=DE•DK=5t•$\frac{3}{5}$（8-4t）=-12t²+24t；
（3）当点F落在BC上时，点J与C重合，于是得到OE+EJ=OC，即3t+4t=6，解得t=$\frac{6}{7}$，当点G落在AB上时，点I与A重合，于是得到OD+DI=OA，即4t+3t=8，解得：t=$\frac{8}{7}$；
（4）当点D运动到使FG经过点M至点G在NH上时，正方形DEFG与矩形BMHN重合部分图形是四边形，于是得到$\frac{48}{49}$＜t≤1，当点D运动到使FG经过点B至点H在DE上时，正方形DEFG与矩形BMHN重合部分图形是矩形，于是得到$\frac{48}{37}≤t≤\frac{5}{3}$，当点D与点A重合时，正方形DEFG与矩形BMHN重合部分图形是梯形，于是得到t=2．

解答 解：（1）如图1，过F作FJ⊥OC于J，过G作GI⊥OA于I，
根据题意得：D（4t，0），
∵DE∥AC，
∴△ODE∽△OAC，
∴$\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OC}$，
∵A、B的坐标分别为（8，0）、（8，6），
∴OA=8，OC=6，
∴$\frac{4t}{8}=\frac{OE}{6}$，
∴OE=3t，
∴E（0，3t），
∵正方形DEFG，
∴EF=DE，易证△EFJ≌△DEO，
∴FJ=OE=3t，JE=OD=4t，
∴F（3t，7t），
同理G（7t，4t）；

（2）当0≤t≤$\frac{24}{37}$时，y=DE²，
∵DE²=OD²+OE²=25t²，
∴y=25t²，
当$\frac{24}{37}$＜t≤2时，
∵AD=8-4t，DK=AD•sin∠OAC=$\frac{3}{5}$（8-4t），
∴y=DE•DK=5t•$\frac{3}{5}$（8-4t）=-12t²+24t；

（3）当点F落在BC上时，点J与C重合，
∴OE+EJ=OC，即3t+4t=6，
解得t=$\frac{6}{7}$，
当点G落在AB上时，点I与A重合，
∴OD+DI=OA，即4t+3t=8，
解得：t=$\frac{8}{7}$；

（4）如图2，当点D运动到使FG经过点M至点G在NH上时，
正方形DEFG与矩形BMHN重合部分图形是四边形，
此时$\frac{48}{49}$＜t≤1，
当点D运动到使FG经过点B至点H在DE上时，
正方形DEFG与矩形BMHN重合部分图形是矩形，
此时$\frac{48}{37}≤t≤\frac{5}{3}$，
当点D与点A重合时，正方形DEFG与矩形BMHN重合部分图形是梯形，
此时t=2，
故满足条件的t的取值范围是$\frac{48}{49}$＜t≤1，时$\frac{48}{37}≤t≤\frac{5}{3}$，t=2．

点评 本题考查了矩形的性质，正方形的性质，求图形的面积，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．