Question

15．如图，已知△ABC的三条高交于H，AG平分∠BAD，CG平分∠BCF，CG交EB于M，下列结论：①∠ABE=∠ACF；②∠BHF=∠BAC；③∠MBC=∠MCB；④∠HMC=∠GAC中，正确的有（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 利用三角形内角和定理以及角平分线的性质和垂直的定义分别得出对应相等的角∠BAD=∠BCF，∠ABE=∠ACF进而得出答案．

解答 解：①∵在△AFC和△ABE中
∠AEB=∠AFC=90°，∠BAE=∠CAF，
∴∠ABE=∠ACF，
故此选项正确；

②由①得：∠ABE=∠ACF，
在△AFC和△CEH中
∠AFC=∠CEH，∠ACF=∠ECH，
∴∠BAC=∠EHC，
又∵∠FHB=∠EHC，
∴∠BHF=∠BAC，故此选项正确；

③无法得到∠MBC=∠MCB，故此选项错误；

④∵∠ABD=∠CBF，∠BFC=∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠BCF，
∵AG平分∠BAD，CG平分∠BCF，
∴∠GAH=∠BCG=∠GCF，
∵∠DAC+∠BCE=90°，
∴∠GAC+∠GCA=90°，
又∵∠ECM+∠EMC=90°，
∴∠GAC=∠HMC，故此选项正确．
故选：B．

点评 此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质和垂直的定义等知识正确利用角平分线的性质是解题关键．