Question

3．已知，如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．
求证：（1）△DEF∽△BDE；
（2）△GDE∽△EDF；
（3）DG•DF=DB•EF．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，根据等边对等角，即可证得：∠ABC=∠ACB，又由DE∥BC，易得∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°，则可证得：∠BDE=∠CED，又由已知∠EDF=∠ABE，则可根据有两角对应相等的三角形相似，证得△DEF∽△BDE；
（2）由（1）易证得DE²=DB•EF，又由∠BED=∠DFE与∠GDE=∠EDF证得：△GDE∽△EDF；
（3）由（2）则可得：DE²=DG•DF，则证得：DG•DF=DB•EF．

解答 证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．
∴∠BDE=∠CED，
∵∠EDF=∠ABE，
∴△DEF∽△BDE；

（2）由△DEF∽△BDE，得$\frac{DB}{DE}=\frac{DE}{EF}$．
∴DE²=DB•EF，
由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．
∵∠GDE=∠EDF，
∴△GDE∽△EDF．
（3）由（2）知，△GDE∽△EDF．
∴$\frac{DG}{DE}=\frac{DE}{DF}$，
∴DE²=DG•DF，
∴DG•DF=DB•EF

点评 此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的性质与判定．注意有两角对应相等的三角形相似以及相似三角形的对应边成比例定理的应用，还要注意数形结合思想的应用