Question

13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）过P作PM∥AD，交AB于M．当t为何值时，四边形AMPE是?？
（2）设y=EQ•PQ（cm²），求y与t之间的函数关系式，并求t为何值时，y有最大值，最大值是多少；
（3）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．

Answer 1

分析 （1）当四边形AMPE是平行四边形时，PE∥AB，则应有$\frac{DE}{DA}=\frac{DP}{DB}$，故用t表示DE和DP后，代入上式求得t的值；
（2）先判断出△DEQ∽△BCD得出比例式表示出EQ，利用条件建立函数关系式，即可确定出极值；
（3）易得△PDE≌△FBP，故有S_{五边形PFCDE}=S_△PDE+S_{四边形PFCD=}S_△FBP+S_{四边形PFCD}=S_△BCD，即五边形的面积不变．

解答 解：（1）如图1，当四边形AMPE是平行四边形时，PE∥AB，则
$\frac{DE}{DA}=\frac{DP}{DB}$．
而DE=t，DP=10-t，
∴$\frac{t}{6}=\frac{10-t}{10}$，
∴t=$\frac{15}{4}$，
∴当t=$\frac{15}{4}$s，四边形AMPE是平行四边形；
（2）∵EF平行且等于CD，
∴∠DQE=∠BDC．
∵AD∥BC，
∴∠EDQ=∠CBD．
∴△DEQ∽△BCD．
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{EQ}{CD}$，
即$\frac{t}{10}=\frac{EQ}{4}$．
∴ED=$\frac{2}{5}$t
∵DQ=BP=t，
∴PQ=10-2t．
∴y=EQ×PQ=$\frac{2}{5}$t（10-2t）=-$\frac{4}{5}$（t-$\frac{5}{2}$）²+5
∴当t=$\frac{5}{2}$时，y有最大值5．    

（3）五边形PFCDE的面积不发生变化，理由如下：
如图3，连接PF．
∵DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，
在△PDE与△FBP中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=BP}\\{∠PDE=∠FBP}\\{PD=BF}\end{array}\right.$，
∴△PDE≌△FBP（SAS）．
∴S_{五边形PFCDE}=S_△PDE+S_{四边形PFCD=}S_△FBP+S_{四边形PFCD}=S_△BCD=8$\sqrt{6}$．
∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变

点评 此题是四边形综合题，主要考查平行线的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式求解．综合性较强，难度较大