Question

10．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，
（1）求证：OD∥BE；         
（2）如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的长；
（3）若F为CD的中点，连OF，试确定OF与CD的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先连接OE，由AM和DE是它的两条切线，易得∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，由切线长定理，可得∠AOD=∠EOD=$\frac{1}{2}$∠AOE，∠AOD=∠ABE，根据同位角相等，两直线平行，即可证得OD∥BE；
（2）由（1），易证得∠EOD+∠EOC=90°，然后利用勾股定理，即可求得CD的长；
（3）由（2）知△DOC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出OF=$\frac{1}{2}$CD．

解答 （1）证明：连接OE，
∵AM、DE是⊙O的切线，OA、OE是⊙O的半径，
∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，
∴∠AOD=∠EOD=$\frac{1}{2}$∠AOE，
∵∠ABE=$\frac{1}{2}$∠AOE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴OD∥BE； 

（2）解：由（1）得：∠AOD=∠EOD=$\frac{1}{2}$∠AOE，
同理，有：∠BOC=∠EOC=$\frac{1}{2}$∠BOE，
∴∠AOD+∠EOD+∠BOC+∠EOC=180°，
∴∠EOD+∠EOC=90°，
∴△DOC是直角三角形，
∴CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=10（cm）；

（3）解：∵F为CD的中点，∠DOC=90°，
∴OF=$\frac{1}{2}$CD．

点评 此题考查了切线的性质、切线长定理、平行线的判定以及勾股定理、直角三角形的性质等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．