Question

19．如图，直线y=x+m和抛物线y=x²+bx+c都经过点A（1，0），B，且当x=4时，二次函数的值为6．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式x²+bx+c＞x+m的解集．

Answer 1

分析 （1）直接把点A（1，0）代入直线y=x+m即可得出m的值；再把点A（1，0）与当x=4时，y=6代入抛物线y=x²+bx+c即可得出b、c的值，进而得出抛物线的解析式；
（2）根据（1）中m、b、c的值即可得出一次函数与二次函数的解析式，故可得出B点坐标，根据函数的图象即可得出结论．

解答 解：（1）∵直线y=x+m和经过点A（1，0），
∴1+m=0，解得m=-1；
∵抛物线y=x²+bx+c经过点A（1，0），且当x=4时，二次函数的值为6，
∴$\left\{\begin{array}{l}1+b+c=0\\ 16+4b+c=6\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=-3\\ c=2\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-3x+2；

（2）∵由（1）知m=-1，抛物线的解析式为y=x²-3x+2，
∴直线的解析式为y=x-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\ y={x}^{2}-3x+2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}\right.$，
∴B（3，2）．
∵由函数图象可知，当x＜1或x＞3时，二次函数的值大于一次函数的值，
∴不等式x²+bx+c＞x+m的解集为x＜1或x＞3．

点评 本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．